#Введение

Знаете же эту байку, что после внедрения арабских цифр вместо римских, развитие математики пошло семимильными шагами?

Из этой байки можно сделать вывод, что иногда хорошая система обозначений или кодировки чего-то, может оказывать значительное влияние на то, как люди это воспринимают и насколько легко могут этим оперировать.

В данной статье рассказывается об обозначениях для базисов, векторов и линейных операторов, при помощи которых можно намного лучше понимать что же, чёрт возьми, происходит в линейной алгебре.

#Абстрактный вектор

Со школы мы привыкли, что вектор - это набор чисел $\mathbf{x} = (1, 2, 3)^T$. Но в линейной алгебре любой вектор - это абстрактный объект, обладающий определёнными свойствами.

Например у нас может быть два вектора: $\mathbf{x} =$апельсиновый сок, $\mathbf{y}=$ яблочный сок. И тогда результатом их суммы может быть: $\mathbf{x}+2\mathbf{y}=$однояблочно-двуапельсиновый сок.

Свойства вектора задаются определением линейного пространства.

#Обозначения

При помощи долларов будет обозначаться, как это пишется в TeX.

Число - маленькая буква, обычный шрифт, $x$, $y$, $z$: $x$, $y$, $z$.

Абстрактный вектор - маленькая буква, жирным прямым шрифтом, $\mathbf{x}$: $\mathbf{x}$.

Базис - маленькая буква, ажурным шрифтом, $\mathbb{e}$: 𝕖. Является вектор-строкой из абстрактных векторов:

$$𝕖=(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n)$$

Линейный оператор - большая буква, жирным шрифтом, $\mathbf{A}$: $\mathbf{A}(\mathbf{x})$, обязательно использование скобок после него.

Численный вектор - абстрактный вектор, заключённый в квадратные скобки, и с дописанным снизу базисом, куда он спроецирован, $[\mathbf{x}]_\mathbb{e}$: $[\mathbf{x}]_𝕖$. Это вектор $\mathbf{x}$ в базисе $𝕖$. Является вектор-столбцом чисел.

$$[\mathbf{x}]_𝕖 = \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \ldots\\ x_n \end{pmatrix}$$

Любой абстрактный вектор можно представить в виде:

$$\mathbf{x} = 𝕖\cdot [\mathbf{x}]_𝕖$$ $$\mathbf{x} = (\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n)\cdot\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \ldots\\ x_n \end{pmatrix}$$ $$\mathbf{x} = x_1\mathbf{e}_1 + x_2\mathbf{e}_2 + \dots + x_n\mathbf{e}_n$$

Эти формулы задают соответствие между абстрактным и численными векторами!

Заметьте, что можно ввести базис $𝕒=(\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \dots, \mathbf{a}_n)$. Тогда можно записать вектор $\mathbf{x}$ через этот базис:

$$\mathbf{x} = 𝕒\cdot [\mathbf{x}]_𝕒$$

И в другом базисе будут другие числа, но вектор останется одним и тем же. Конечно, на практике мы никогда не столкнёмся с абстрактными векторами, а всегда будем работать с числовыми столбцами, но это удобная абстракция, чтобы обозначить один и тот же объект.

По сути численный вектор - это проекция абстрактного вектора на базис.

Кстати, линейные операции над вектором равносильны линейным операциям над его координатным столбцом:

$$[c\cdot \mathbf{x}]_𝕖 = c\cdot [\mathbf{x}]_𝕖$$ $$\displaystyle [\mathbf{x} + \mathbf{y}]_𝕖 = [\mathbf{x}]_𝕖 + [\mathbf{y}]_𝕖$$

#Переход из одного базиса в другой

В этой задаче данные обозначения проявляют свою силу, потому что со стандартными обозначениями в ней происходит больше всего путаницы при решении задач.

Скажем, мы смогли выразить вектора базиса $𝕒$ через вектора базиса $𝕖$:

$$\left\{ \begin{aligned} &\mathbf{a_1} = 𝕖 \cdot [a_1]_𝕖 = \alpha_{1,1}\mathbf{e_1} + \alpha_{1,2}\mathbf{e_2} + \ldots + \alpha_{1,n}\mathbf{e_n} \\ &\mathbf{a_2} = 𝕖 \cdot [a_2]_𝕖 = \alpha_{2,1}\mathbf{e_1} + \alpha_{2,2}\mathbf{e_2} + \ldots + \alpha_{2,n}\mathbf{e_n} \\ &\ldots \\ &\mathbf{a_n} = 𝕖 \cdot [a_n]_𝕖 = \alpha_{n,1}\mathbf{e_1} + \alpha_{n,2}\mathbf{e_2} + \ldots + \alpha_{n,n}\mathbf{e_n} \end{aligned} \right.$$

И ввёдем такую матрицу:

$$P_{𝕖𝕒} = \left([a_1]_𝕖, [a_2]_𝕖, \ldots, [a_n]_𝕖\right)$$ $$P_{𝕖𝕒} = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1}& \alpha_{2, 1}& \ldots& \alpha_{n,1} \\ \alpha_{1,2}& \alpha_{2, 2}& \ldots& \alpha_{n,2} \\ \ldots& \ldots& \ldots& \ldots \\ \alpha_{1,n}& \alpha_{2, n}& \ldots& \alpha_{n,n} \end{pmatrix}$$

Тогда изначальная система равносильна следующим записям:

$$\begin{matrix} &P_{𝕖𝕒}^T \cdot 𝕖^T &= &𝕒^T \\ &𝕖 \cdot P_{𝕖𝕒} &= &𝕒 \\ &𝕒 \cdot P_{𝕖𝕒}^{-1} &= &𝕖 \\ &𝕒 \cdot P_{𝕒𝕖} &= &𝕖 \end{matrix}$$

$P_{𝕖𝕒}$ называется матрицей перехода от базиса 𝕖 к базису 𝕒.

Из имеющихся у нас формул можно вывести ещё несколько полезных:

$$P_{𝕖𝕒} = P_{𝕒𝕖}^{-1}$$ $$𝕒 = 𝕖 \cdot P_{𝕖𝕒}$$ $$P_{𝕒𝕕} = P_{𝕒𝕖}\cdot P_{𝕖𝕕}$$ $$[\mathbf{x}]_𝕒 = P_{𝕖𝕒} \cdot [\mathbf{x}]_𝕖$$

Благодаря полученным формулам мы теперь знаем как переводить численные вектора из одного базиса в другой.

#Линейный оператор

Линейный оператор - это функция, принимающая на вход вектор, и возвращающая вектор. При этом пространство первого вектора может отличаться от пространства второго вектора.

В математике любят писать: $\mathbf{A}\mathbf{x}$, что означает, что "оператор применяется к вектору". Меня эта нотация бесит. Она похожа на умножение, и всегда надо заранее знать, что $\mathbf{A}$ - функция.

Этот "оператор" называется линейным, потому что он обладает линейными свойствами (как и практически всё в линейной алгебре).

$$\mathbf{A}(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \mathbf{A}(\mathbf{x}) + \mathbf{A}(\mathbf{y})$$ $$\mathbf{A}(c\cdot\mathbf{x}) = c\cdot\mathbf{A}(\mathbf{x})$$

Чем же является линейный оператор в нашем мире чисел? Оказывается, можно доказать, что любой линейный оператор для данных базисов можно свести к единственной матрице! При этом операция "применения оператора к вектору" будет являться умножением матрицы на этот вектор.

$$[\mathbf{A}]_{𝕖𝕒}\cdot[\mathbf{x}]_𝕖 = [\mathbf{y}]_𝕒$$

Именно из-за этого я стараюсь не использовать применения оператора без скобочек, потому что у нас появляется ещё больше шансов спутать абстрактный оператор с матрицей.

Заметьте, что матрица зависит от двух базисов: от входных данных и от результатов! Ведь результат может быть 50-мерный вектор, а вход - 2-мерный. Конечно, на практике чаще встречается, что вход и выход находятся в одном базисе и следовательно имеют одинаковую размерность. Поэтому покажу обозначение именно для этого случая:

$$[\mathbf{A}]_𝕖\cdot[\mathbf{x}]_𝕖 = [\mathbf{y}]_𝕖$$

Ещё раз подчеркну, линейный оператор ≠ матрице линейного оператора.

Линейный оператор - это абстрактная функция, а матрица - это конкретная её реализация в виде набора чисел.

#Вывод формулы перевода матрицы линейного оператора

Скажем, мы знаем как линейный оператор представляется в пространстве $𝕖$:

$$[\mathbf{A}]_𝕖\cdot[\mathbf{x}]_𝕖 = [\mathbf{y}]_𝕖$$

И нам нужно получить его матрицу в базисе $𝕒$, то есть такую матрицу, чтобы выполнялось следующее равенство:

$$[\mathbf{A}]_𝕒\cdot[\mathbf{x}]_𝕒 = [\mathbf{y}]_𝕒$$

Тогда для вывода нам понадобится следующее:

$$[\mathbf{x}]_𝕖 = P_{𝕒𝕖} \cdot [\mathbf{x}]_𝕒$$ $$[\mathbf{y}]_𝕖 = P_{𝕒𝕖} \cdot [\mathbf{y}]_𝕒$$ $$[\mathbf{A}]_𝕖\cdot[\mathbf{x}]_𝕖 = [\mathbf{y}]_𝕖$$

Подставляем первые две формулы в третью:

$$[\mathbf{A}]_𝕖\cdot P_{𝕒𝕖} \cdot [\mathbf{x}]_𝕒 = P_{𝕒𝕖} \cdot [\mathbf{y}]_𝕒$$ $$P_{𝕒𝕖}^{-1} \cdot [\mathbf{A}]_𝕖\cdot P_{𝕒𝕖} \cdot [\mathbf{x}]_𝕒 = [\mathbf{y}]_𝕒$$

И получаем такой ответ:

$$[\mathbf{A}]_𝕒 = P_{𝕒𝕖}^{-1} \cdot [\mathbf{A}]_𝕒\cdot P_{𝕒𝕖}$$

#Почему эти обозначения хороши?

Вы могли заметить, что впервые в жизни поняли что происходит в этой чертовой линейной алгебре, и это неспроста. В стандартных обозначениях нет никакого разделения между вектором, его проекцией на базис, и базисом. Всё тупо и лениво обозначается обычными нежирными неажурными буквами.

Именно из-за этого тебе постоянно приходится помнить о контексте. И ещё хорошо, если тебе расскажут разницу между абстрактным вектором и числовым столбцом. Обычно преподаватели сами толком не знают разницу, или не знают что на неё надо обратить внимание студентов.

Минус тупого обозначения всего обычными буквами в том, что обычные буквы начинают обозначать слишком много. У них появляется многозначность. В зависимости от контекста $a$ мог быть чем угодно: числом, вектором, базисом и даже оператором младшим.

Соглашусь, что эта система обозначения координатных столцом слишком многосимвольна: для её написания требуется писать [, ], 𝕖, а как писать последнее при помощи ручки вообще непонятно. Применять её на практике для решения задач в линейной алгебре невозможно. Поэтому я предлагаю использовать такие обозначения для:

• Книг и методичек,
• На бумаге, когда в задании фигурирует переход из одного базиса в другой,
• На начальных этапах, чтобы различать абстрактный вектор и столбец чисел,
• Когда забыл как всё работает. Далее же, когда научишься всё понимать, можно использовать обычные буквы, для сокращения записей.

Данная система является немного доработанной системой обозначений, рассказанной Овчинниковой Еленой Викторовной на факультете АВТ, университета НГТУ.

Главными фичами этой системы обозначений является:

• Вектор разделён на два понятия: абстрактный и числовой.
• Для каждого из классов придуманы особые обозначения.
• Базис у числого вектора не игнорируется и находится в его обозначении.
• Для базиса выбран особый шрифт, чтобы его нельзя было спутать с вектором или числом.

#Вывод

Правильные обозначения важны.