#Четырёхмерное пространство (4D)

Здесь будет систематизироваться информация о четвёртом измерении: как его понять, представить и прочие интересности.

Приглашаю к обсуждению темы в чате в телеграме: https://t.me/metageometria

#Что это такое?

4D, четырёхмерное пространство, четвёртое измерение - абстрактная концепция пространства, обобщающего свойства 3D, 2D, 1D, 0D на размерность 4.

Мы рассуждаем в первую очередь о четырёхмерном пространстве как о чём-то, максимально похожим на наше трёхмерное, но имеющее размерность 4. Не важно каким образом оно может реализовываться в математике или в программировании, главное чтобы сохранялась идейная похожесть на трёхмерный мир.

Получать информацию о том как что-то должно работать в 4D можно путём создания аналогии для перехода из 3D в 4D на основе понимания перехода из 2D в 3D.

Так же здесь не будут рассматриваться никакие гипотезы о том, что в нашем мире четвёртое измерение позволяет хранить рай и ад или параллельные миры, это абсолютно неинтересно, недоказуемо и идите на рентв со своим бредом.

Как математическая модель четырёхмерного пространства для расчётов и симуляций отлично подходит евклидово пространство и аналитическая геометрия.

#FAQ

#²А что насчёт времени? Время - это же четвёртая ось, да? Так Эйнштейн говорил.

Не надо путать тёплое с мягким. Четырёхмерное пространство - это в первую очередь абстрактная концепция, которая существует на бумаге, в программах и умах людей. 4D никак не зависит от нашего мира.

А время как четвёртая ось - одно из практических применений абстрактного четырёхмерного пространства в физике. Но там используется не чистое 4D, а пространство Минковского.

#²4D - это только время!

А говорить, что 4D - это исключительно пространство-время, такое же бессмысленное утверждение, как говорить что число 2 обозначает только те 2 камня, но не 2 джоуля, не 2 фотона, не 2 бита, не 2 икса.

Число 2 - куда более широкое понятие, чем его конкретная реализация в виде двух конкретных объектов.

Аналогично 4D - куда более широкое понятие, чем его реализация в виде пространства-времени.

#²А я ходил в кинотеатр 7D!

Это маркетинговый бред, и с настоящим 7D пространством не имеет ничего общего.

Дополнительные ощущения, конечно, дают дополнительное измерение ощущений во время просмотра, но это опять же является частным случаем использования многомерных простраств в реальной жизни, и то что вы посмотрели "7D кино", не означает, что вы способны представить 7 пространственных измерений.

С таким же успехом можно сказать, что наши глаза видят на самом деле не 2D картинку, а 3.7D, ведь мы видим двумя глазами, с глубиной, с цветом, с временем.

#²Почему именно 4D, почему не 5D, 100500D?

Любое пространство > 3D уже интересней 3D. А 4D проще визуализировать, вычислять и понимать, чем 5D и все остальные пространства. Так что 4D является оптимумом по критериям интересности и простоты

#²4D не существует!

Утверждать, что 4D не существует, такое же бессмысленное утверждение, как и что числа 2 не существует. 4D - абстрактная концепция, которая не зависит от нашего мира.

Если хочется сказать, что "наш мир не является геометрическим 4D пространством", то надо говорить именно так.

Если хочется сказать, что "наш мир не работает согласно идее о пространстве-времени", то надо тоже говорить именно так.

#²В 4D мы будем видеть сразу и поверхность и внутренности всех объектов?!

Ещё скажите, что будем видеть "одновременно со всех сторон". Нет, в 4D, аналогично 3D и 2D, мы будем видеть только поверхность 4D объектов. Зато мы сможем видеть внутренности 3D объектов, ведь там 3D будет плоское, и зрение будет 3D. Происходить это будет аналогично тому, как мы в 3D видим внутренности 2D объектов.

#²А как это - 3D зрение?

Зрение получает на вход изображение, размерность изображения и определяет размерность зрения.

Теперь давайте поймём: а как это 0D, 1D, 2D изображения?

• 0D - это 1 пиксель.
• 1D - это одномерный массив пикселей.
• 2D - двумерный массив пикселей.

Тогда 3D изображение - это трёхмерный массив пикселей, или уже вокселей. И визуализировать его можно так:

×1
jpg

Мы видим эту картинку нашими 2D глазами, поэтому у нас некоторые детали перекрываются другими. Если бы у нас было 3D зрение, мы бы видели это так же чётко и со всеми внутренностями, как будто бы смотрели на плоскую картинку.

Так же, видеть 3D зрением - это примерно как взглянуть на человека, и сразу увидеть его томографию. Да, 4D существа видят все наши внутренности, а мы видим все внутренности 2D существ.

И можно увидеть это на картинке:

×1
png

×1
png

#²У нас же два глаза, а что если добавить третий? А в 4D пространстве сколько нужно глаз?

Ваш экран плоский. Независимо от того, каким глазом вы на него смотрите, он выглядит одинаково. И каким-то образом, смотря на него, вы умудряетесь видеть объёмные картинки, будь то игры, фильмы итд. Поэтому, делаем вывод, что для видения пространства должно хватать всего-лишь одного глаза.

Но если добавить ещё глаз, то у вас просто появляется способность видеть "расстояния" до объектов. Дополнительные глаза не позволят вам иметь истинное 3D зрение.

#²А я тоже когда поем грибочков, столько много размерностей пространства вижу!

Нет, эти препараты не способны заставить мозг вычислять 4D геометрические преобразования, чтобы их потом спроецировать, и корректно нарисовать. Препараты способны дать только билеберду, или статистически верную картину (как это рисуют иногда нейросети).

Вот если ты до этого понял визуально 4D, у тебя сформировалось достаточно нейронных связей для его распознавания и представления, а потом принял препарат - это другой вопрос.

#²Почему мы не можем представить 4D?

Потому что у нас нет визуальных примеров. Мы можем восстанавливать 3D объекты по их тени, потому что мы видели много 3D объектов и их теней (привет нейросети). Но мы никогда не видели 4D объектов, поэтому мы не можем представить как выглядит 4D объект только по его "тени" (проекции).

Ответ нагло украден отсюда.

#Как понять?

#²Логически

Это довольно просто. Просто изучите следующие материалы:

• Фильмы Dimensions - просто must see. Объясняют не только тему пространств, но ещё немного комплексные числа и проекции.
  • Сайт
  • Плейлист на ютубе - с него удобнее смотреть.
• Книга Флатландия - художественная литература, котороая имеет не только понимнаие простраства в принципе, но ещё и имеет интересный политический и социальный подтекст своего времени. Рекомендуется к чтению даже тем, кто понимает 4D. Обычно идёт в комплекте с книгой "Сферландия", написанной другим автором, объясняющая концепцию расширяющейся вселенной.
  • Ссылка в телеграме
• Объяснение на английском - крайне рекомендую, я украл оттуда много картинок.

#³Тессеракт

При объяснении 4D все очень любят объяснять это на примере куба и тессеракта.

Тессеракт -- это четырёхмерный куб.

Вы спросите: где находится его внутренность? Это можно показать на гифках:

Почему на гифке кручения тессеракта он выглядит так, как будто входит сам в себя? Потому что проекция куба тоже выглядит как квадрат входит в самого себя. Сравните:

Картинки взяты отсюда.

#²Визуально

Люди частенько спрашивают что-то такое:

Ну окей, я понял что у тессеракта M вершин, N рёбер, K 2D-граней и 3D-граней, и даже могу вычислить сколько их будет у пятимерного куба. А как мне его представить в голове? Как мне там его покрутить и увидеть сверх-объём?

На данный момент лично мне неизвестны люди, которые смогли представить четырёхмерное пространство таким же образом, как мы представляем трёхмерное.

Для того, чтобы полноценно понять четырёхмерное пространство именно визуально, надо научиться делать те же визуальные операции, что мы умеем делать с трёхмерным пространством, и понять как будут выглядеть наши привычные вещи в непривычном четырёхмерном мире.

У меня есть гипотеза, что для понимания 4D необходимо сыграть в 4D игру с проекцией на трёхмерное изображение, например 4D-майнкрафт. В этой игре результатом рендеринга должно быть 3D воксельное изображение с перспективной проекцией. Далее это 3D изображение мы будем рисовать на 2D экран и пытаться рассмотреть его.

Under development...

#Интересности

#²4D геометрические фигуры

Знаете в трёхмерном пространстве правильные многогранники, полуправильные многогранники? В четырёхмерном пространстве тоже хватает своих, и есть целый сайт, где показано визуально как они выглядят с разных углов, их математические свойства и объяснения.

The Regular Polychora

×1
png

Вообще, я не представляю каким образом они смогли рассчитать все эти фигуры, это просто невообразимо. Наверное за этим стоит очень сложная математика. Жаль что они написали координаты фигур в таком неудобном формате.

#²4D toys

Это игра, где можно взаимодействовать с 4D объектами, в том числе и при помощи VR.

Единственное за что я хейчу эту игру - это проекция, которую они используют. Они используют cross-section - вырезку объекта плоскостью. В видео это подробно показано.

Я считаю, что для целей простой визуализации, она, конечно, подходит, но для целей понимания 4D пространства она не подходит совсем. Для понимания 4D отлично подойдёт перспективная проекция. Подходит именно она, потому что у нас слишком много геометрии и вообще пространственных понятий завязано на том, как устроена эта проекция.

Причём, с помощью их проекции:

• Нельзя взглянуть на поверхность четырёхмерного объекта, можно увидеть лишь маленькую её часть;
• Нельзя взглянуть вдаль

Используя эту проекцию, ты не будешь понимать куда упал твой предмет, потому что не будешь видеть что находится сбоку от тебя.

#Unsorted

#²Видео о том, как нарисовать тессеракт и что он из себя представляет

#²Сборка тессеракта из его развёртки

Берётся 3D развёртка тессеракта и собирается в 4D куб, всё по аналогии с 2D развёрткой 3D куба.

#²Как собирается 120-cell

120-cell - правильная фигура в 4D, состоящая исключительно из додэкаэдров, которые в свою очередь состоят из правильных пятиугольников.

Это очень красивое видео, где показывается как собирается эта фигура из её развёртки.

#²Бродилка по 2D пространству

×1
png

Вам даётся 1D зрение на 360 градусов, и вы должны бродить по 2D миру с таким зрением. В целом игра хорошая, только ей очень не хватает освещения, а то различить угол фигуры и её прямую часть невозможно, отчего сложней ориентироваться. В 3D подобный образ рисования выглядел бы так:

Так же там на гифках хорошо показывается как работает проекция.

Поиграть в эту игру можно здесь.

Если делать свою 2D игру, то сразу с 2D рейтрейсингом, чтобы и освещение, и оптические преломления и всё было. Аналогично надо поступать с собственной 4D игрой.

#²Поржать

#²Всякое пространственное

Видео не идеальное, но есть много интересностей и прикольных визуализаций.

В этом видео Ян объединяет всё пространственное и геометрическое. Вот список тем, которые как-то влияют на пространство и геометрию:

• Порталы
  • Неевклидовы миры. Реализовано на базе порталов. Никакой сверхгеометрии там нет, просто все эти комнаты лежат в другом месте, и порталы телепортируют тебя в нужное место.
    

    Non-Euclidean Worlds Engine Канал: CodeParade

    5:15
  • Портал в портале. - моя работа.
  • Порталы - это не неевклидова геометрия!
• Высшие и низшие размерности
• Сферическая геометрия
  • Прикольное видео про стереографичекую проекцию. Взято отсюда.
    

    

    ×1
    jpg
• Геометрия лобачевского
  • Кубик-рубика в разных пространствах
    

    

    ×1
    png
• Фрактальная размерность пространства
• Реально неевклидовый мир

#²Список четырёхмерных игр

Тыщ

#²Форум по 4D

Тыщ

#²Объяснение того, как работают проекции

×1
png

#²Рейтрейсинг четырёхрменого пространства

https://habr.com/ru/post/114698/

https://habr.com/ru/post/113485/

#²Несортированное

Странный список четырёхмерных многогранников.